Las nuevas tendencias en educación matemática nos proponen estrategias de acción que orienten el desarrollo de habilidades y destrezas propias del pensamiento matemático. Los docentes, en general, adhieren a esta corriente, aunque muchas veces exteriorizan sus luchas entre la voluntad y valentía de innovar y los temores e inseguridades de distinta índole. - ¡Sí! ¡Todo muy lindo! Pero... ¿cómo lo hago en mi escuela? - ¿Podré “terminar” el programa? ¡No tengo mucho tiempo! - Me gustaría trabajar con problemas, pero... ¿lo haré bien? - ¿Cómo hago para relacionar un tema con otro? - ¿No le parece que los acertijos son para resolver los días de lluvia? Cuando hay asistencia completa... ¡no hay tiempo para juegos! ¡Enseñar matemáticas es cosa seria! Estos interrogantes -si sabemos interpretar el sentido dinámico de los contenidos matemáticos curriculares- pueden tener respuestas sólidas a partir de una reflexiva selección de situaciones didácticas que se completan con un abordaje dúctil, flexible. Situaciones que, lejos de trabajar con contenidos aislados, motivan que nuestra acción tienda a la construcción de redes conceptuales que se afirmen y se sostengan interrelacionadamente. Sabemos que resulta dificultoso efectuar propuestas que -apuntando a una mayor profundización- conecten o entrelacen conceptos matemáticos y que es aún más complicado si éstas deben integrar saberes ya adquiridos. En este sentido, los problemas no rutinarios, cuya resolución exige iniciativa mental e ingenio, nos brindan la oportunidad de pulsar las dificultades y de conocer los alcances y limitaciones del conocimiento matemático de nuestros alumnos. Las propuestas que se desarrollan en los distintos capítulos de este libro pretenden ser sugerencias que requieren ser condimentadas con una alta dosis de creatividad para ser adoptadas o adaptadas, según convenga, a la realidad escolar que cada uno posea. Fueron pensadas para que cobren vida en las aulas y como un instrumento de servicio que cubra algunas de las necesidades detectadas en mis vivencias con docentes. Es sabido por todos que los fracasos escolares de nuestros estudiantes tienen una fuerte conexión con las dificultades en su educación matemática y en la exploración de las potencialidades que cada uno tiene. Se trata, entonces, de presentar situaciones atractivas desde lo lúdico. Situaciones que despierten el placer del desafío, de la búsqueda, el reconocimiento de la importancia de hacerse y hacer buenas preguntas y la necesidad de experimentar las propias ideas, de confrontarlas y de discutirlas. En definitiva, se intenta generar un canal de diálogo abierto entre los mismos alumnos y con el docente. El descubrimiento de las estructuras matemáticas se puede lograr desde la autonomía del pensamiento y sin imposiciones externas. En este sentido, el docente es el artífice del éxito de su tarea si se permite a sí mismo trabajar en la libertad absoluta y contagiar a sus alumnos en la exploración de terrenos desconocidos, apuntando al verdadero aprendizaje de procesos y métodos inherentes del hacer matemático más que a la superficial y comprobadamente inútil acumulación de contenidos. Desde esta modalidad de trabajo, las preguntas que los jóvenes nos hacen, en su esfuerzo por comprender estructuras complejas, del tipo “cómo” o “por qué” y “para qué” -y que muchas veces soslayamos no sin antes quedarnos perplejos por su profundidad- encuentran más accesible respuesta desde los propios descubrimientos. Cada capítulo se inicia con una nómina de conocimientos matemáticos que, en algunos casos, se pretenden construir, en otros profundizar y en todos trabajar desde la diversidad de puntos de vista. Sin previas explicaciones, le sigue un primer problema cuyo planteo y abordaje -según el perfil de los alumnos destinatarios- puede tener distintos grados de dificultad; no obstante, no se necesitan demasiados conocimientos previos para generar los primeros intentos de solución, ya que las situaciones que se plantean son aparentemente sencillas (sabemos que este primer problema podría agotarse con una simple respuesta, pero en ese caso la clase se transformaría en un trabajo insulso e intrascendente para todos los involucrados). La lectura serena, atenta, pausada y comprensiva es el imprescindible hábito que debe ser incorporado -desde la sintonía mental que cada uno tiene- para poder familiarizarse con la situación planteada. ¿Por qué decimos que las situaciones son aparentemente sencillas? Porque casi todas se plantean a manera de juego, aprovechando la proximidad del pensamiento lúdico con el matemático. Tal es esta cercanía que grandes hombres y mujeres que marcaron hitos en la historia de esta ciencia han desarrollado muchas de sus originales teorías a partir de una motivación lúdica. Desde el punto de vista expresivo, toda persona se muestra con elocuencia tal cual es mientras está jugando. Todo juego es una cosa seria, ya que como espacio de diversión hace sentir libre a quien se involucra aceptando y definiendo reglas, creando vínculos entre los que participan y generando fuertes emociones, que pueden oscilar desde el desconcierto y la tensión hasta las demostraciones de alegría más explosivas. “La matemática es un grande y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho. (…) posiblemente ningún otro camino puede trasmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido” (Miguel de Guzmán, 1992). Los comentarios que siguen al primer problema de cada capítulo pretenden acompañar al docente, proporcionándole, por un lado, orientaciones didácticas centradas en sugerencias e interrogantes que se pueden recrear en la clase y, por el otro, la explicación fundamentada de la o las soluciones. El carácter del problema es el que genera las conexiones entre los distintos contenidos. No se trabaja con ninguno de ellos como un fin en sí mismo, sino como un trampolín necesario y racional para construir o enriquecer alguna idea. Se trabaja con el claro objetivo de solucionar una situación y para ello los contenidos no se imponen, sino que su uso aparece como una necesidad con una finalidad concreta. La utilización racional de los datos, el significado de los procedimientos, la evaluación de la razonabilidad de los resultados, la inmediata posible discusión de ideas y modalidades para ”llegar al objetivo”, le dan sentido a la actividad y hacen que cada contenido no aparezca como una “ejercitación” aislada. No hay saltos bruscos entre un tema matemático y otro. Así, un problema puede ser tratado numéricamente e inmediatamente conectarse con una cuestión geométrica y adquirir, de este modo, una nueva dimensión al ser integrados ambos. Se tuvo particular cuidado en elegir problemas que tienen más de una solución. Entre ellos, algunos tienen soluciones diferentes e igualmente satisfactorias y otros poseen infinitas soluciones. La construcción de tablas y gráficos, y los conceptos de combinatoria, aparecen como ayuda para ordenar búsquedas o aclarar certezas sobre una variedad de soluciones diferentes; la aplicación de un teorema o de una propiedad es oportuna para la solución de las situaciones planteadas Desde los aspectos didácticos y la explicación de soluciones, se acompaña al docente para que cultive en sus alumnos la intuición, para que permita y “se permita” la manipulación operativa de los objetos y símbolos matemáticos y para que abra -con paciencia- el espacio a la experimentación, dando lugar a la tentativa y al error a partir de márgenes flexibles de reflexión de los procesos mentales e ideas propias y ajenas. La fuerte presencia de imágenes que describen procesos constructivos o soluciones no pretende reemplazar palabras ni tampoco símbolos. Las imágenes muestran las explicaciones de las ideas y procesos (engorrosos y complejos en sí mismos) apelando a la visualización como valiosa herramienta de entendimiento. En general, las técnicas de visualización, tan popularizadas desde los medios de comunicación, forman parte de nuestra cultura y no son nuevas en la historia del pensamiento matemático. Las construcciones de muchas figuras han sido fuente de inspiración de grandes matemáticos. Inclusive, en todas las culturas en las que hubo desarrollo del pensamiento matemático, la presencia de ilustraciones o imágenes con señales que develan procesos permitió que las grandes ideas llegaran hasta nuestros días independientemente de jeroglíficos, traducciones o lenguas perdidas. En esta obra puede reconocerse la clara intencionalidad de fomentar el pensamiento visual con miras a un aprendizaje más directo e intuitivo. Los materiales que se sugieren -si son construidos por los mismos jóvenes- constituyen en sí mismos problemas no convencionales que exigen la puesta en marcha de habilidades manuales y destrezas en el uso de herramientas (aspectos algo descuidados en los últimos tiempos). Se tuvo en cuenta que estos materiales sean económicos y posibles de construir en cualquier contexto social, no por desconocer u oponerse a las tecnologías más sofisticadas, sino para presentar opciones que alternen su uso. Las propuestas desde los distintos capítulos van “in crescendo”. En “Mirar, ver… y jugar” se proponen problemas en los que prima la motivación y el método y quedan disimulados los fuertes contenidos matemáticos que figuran en cualquier currículo. En “Acertijos con números”, sólo se trabaja con números naturales y se pone el acento en las deducciones. Las ecuaciones –que podrían resolverse mentalmente– pueden formalizarse como estadio posterior. El proceso deductivo sigue en “Tablero y fichas”, complementado con la fuerza de las visualizaciones. En “Varillas, cuadrados y rectángulos” convergen con igual importancia la experimentación con el material, las propiedades de las figuras, la razonabilidad del significado de números y medidas y la necesidad de ordenamiento de datos y de representaciones claras. En “Rompecabezas, fracciones y algo más”, el número racional se trabaja desde lo visual buscando una fuerte reflexión sobre las relaciones parte-parte y parte-todo en un todo continuo. Con el mismo material, y para profundizar lo anterior, se calculan áreas y perímetros, apelando a propiedades y teoremas con posibilidades de iniciar formalizaciones más rigurosas. En “Rompecabezas con triángulos”, las construcciones con regla y compás y el “porqué” de los procedimientos invitan a fundamentar el uso de instrumentos. Luego se profundiza sobre las propiedades de las figuras utilizando contenidos algebraicos. Aquí la manipulación inteligente del material abre al descubrimiento de conexiones claras entre contenidos aparentemente dispares. En “Más rompecabezas con piezas de igual área” se continúa el trabajo iniciado en los dos capítulos anteriores, pero desde otra óptica. Ya no alcanza con “mirar y ver”. El hecho de que muchas veces las imágenes sean engañosas o confusas requiere que las formas y figuras que se creen estén sustentadas por las propiedades geométricas. En “Con regla y compás”, se retoman las construcciones de figuras, pero antes de hacer uso de la regla y el compás se invita a reflexionar sobre lo que se quiere hacer. Se busca la no mecanización del uso de instrumentos y, por ello, se presentan secuencias constructivas con imágenes que describen los procesos. Aquí, deliberadamente, las palabras fueron reemplazadas por imágenes. Vuelven a aparecer relaciones entre medidas y comparaciones con porcentajes y se cierra el capítulo con cuestiones elementales de Teoría de Grafos. En “Dominós, triminos y poliminos”, el entrenamiento que otorga el modo de pensar en combinatoria facilita la comprensión de las imágenes. En este sentido, los juegos en los que interviene el pensamiento visual agudizan las estrategias para el uso de las transformaciones del plano. En “Cubos, prismas y mucho más” no sólo se establecen conexiones entre plano y espacio (medidas y construcciones en 2D y 3D), sino también intervienen temas de Teoría de Números y resolución de ecuaciones. Casi todos los capítulos cierran con ideas -a modo de cuestiones abiertas que no llevan solución- para dejar margen de libertad a las propias capacidades, gustos y estilos. Estas ideas, que el docente decidirá si las desarrolla o no, sólo pretenden ser un comienzo de vivencias diferentes, de expresiones enriquecedoras que hagan más apasionante la clase de matemática. Con esta modalidad de trabajo se pretende integrar saberes y desdibujar los límites entre diferentes ejes curriculares, para lograr una mirada más profunda y crítica, tanto de la significatividad de las situaciones como de la razonabilidad de los resultados. Los alumnos aquí tendrán oportunidad de ejercitar diferentes estrategias según el tipo de problemas o los datos que se planteen. Es necesario destacar que con este trabajo se pretende complementar tanto los textos escolares como los que sólo tienen problemas con soluciones y no poseen comentarios, dejando a criterio del docente la posibilidad de profundizar según su consideración y conocimiento del grupo a cargo. La lectura concienzuda de textos de didáctica, en el marco de jornadas de estudio con los compañeros, más el intercambio y evaluación de logros y algunos tropiezos, completarían un trabajo de excelencia. Los avances de los alumnos demostrarán, una vez más, que en la construcción de las ideas matemáticas es más importante el viaje que el destino.